內容簡介

現行高等微積分教本，內容多，取材深，不能與初等微積分教材配合，本書內容取材，是介於初等微積分與高等微積分之間，以基本理論為主，例題應用為輔，藉以補充初等微積分教材之不足，做為學習高等微積分之參考。本書是先講函數的連續概念，再講函數的極限概念，進而討論兩者的關係，這是與其它各書講述不同的地方，事實上，函數連續概念與極限概念相差甚微。但差之毫釐則謬之千里，讀者不可不慎。

目次

序　言

第一章　集合與函數　

1-1　集合簡介　2

1-2　函數　6

1-3　反函數　12

1-4　有限集合、可數與不可數集合　14

本章習題　20

第二章　實數系

2-1　引言　24

2-2　體公設　24

2-3　有序體、大小關係　33

2-4　最小上界、最大下界、實體的完備性　40

2-5　小數、無理數、平方根　48

2-6　絕對值　52

本章習題　57

第三章　度量空間　

3-1　歐氏空間　62

3-2　向量的代數運算　63

3-3　度量空間　69

3-4　拓樸基本概念　71

3-5　實數數列　83

3-6　完備度量空間　89

3-7　緊緻集合　93

本章習題　99

第四章　連續函數與極限　

4-1　連續函數　104

4-2　連續函數的基本性質　106

4-3　實函數　111

4-4　函數的極限　115

4-5　在緊緻度量空間上的連續函數　121

4-6　函數序列，C(X)空間　128

本章習題136

第五章　微　分　

5-1　導數　142

5-2　導數的基本公式　147

5-3　平均值定理　149

5-4　羅比達法則　158

5-5　其它不定型　165

5-6　泰勒定理　167

5-7　微分　173

本章習題　176

第六章　里曼積分　

6-1　里曼積分　182

6-2　積分存在定理、可積分函數　189

6-3　可積分的函數　198

6-4　積分的基本性質　204

6-5　積分平均值定理　214

6-6　微積分基本定理　219

6-7　定積分是里曼和的極限　225

6-8　定積分中的變數變換　231

本章習題　235

第七章　無限級數　

7-1　無限級數　242

7-2　級數的基本定理　245

7-3　非負項級數與正項級數的定理　248

7-4　絕對收斂與條件收斂　258

7-5　函數序列的積分與微分　264

7-6　函數級數　268

7-7　冪級數、收斂區間　271

7-8　冪級數的微分與積分　280

7-9　泰勒級數　284

本章習題　290

第八章　多變數函數的微分　

8-1　偏導數　298

8-2　高階偏導數　305

8-3　多變數函數的微分　310

8-4　連鎖規律　319

8-5　方向導數、梯度　323

8-6　二變數函數的泰勒定理　336

8-7　隱函數存在定理　339

8-8　二變數函數的相關極大值與極小值　347

8-9　拉格蘭日乘數法　357

8-10 由積分定義的函數　365

本章習題　373

第九章　多重積分　

9-1　引論　380

9-2　重積分　381

9-3　重積分的基本性質　389

9-4　可積分的非連續函數　392

9-5　逐次積分、重積分的算法　393

9-6　在非長方形上的重積分　401

9-7　重積分是里曼和的極限　412

9-8　三重積分　414

9-9　體積　419

本章習題　428

第十章　線積分、重積分的變數變換

10-1　曲線　434

10-2　線積分的定義　435

10-3　格林定理　441

10-4　面積　445

10-5　線積分與路線無關的條件　447

10-6　重積分的變數變換　453

本章習題　463

第十一章　瑕積分

11-1　瑕積分　468

11-2　瑕積分、柯西主值　469

11-3　瑕積分收斂、發散判別定理　473

11-4　絕對收斂、條件收斂　488

11-5　一致收斂的瑕積分　495

11-6　一致收斂瑕積分的應用　501

11-7　瑕積分、柯西主值　506

11-8　瑕積分收斂、發散判別定理　511

11-9　伽瑪函數　519

本章習題　522

參考書目　525

索引　527